Question

【题目】如图，为等边三角形，点D、E分别在BC，AC上，AE=CD，AD交BE于点P，于Q，.

（1）求证：；

（2）若，，求AD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）7

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°；求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=6，则易求BE=BP+PE=7．

(1)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=CA,∠BAE=∠C=60°，

在△AEB与△CDA中，

;，

∴△AEB≌△CDA(SAS)，

∴BE=AD;

(2)由(1)知,△AEB≌△CDA，则∠ABE=∠CAD，

∴∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，

∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；

∴∠BPQ=60°.

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴PQ=BP=3，

∴BP=6

∴AD=BE =BP+PE=7，即AD=7.