Question

【题目】如图，在直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点在第一象限内，连结，，．动点P在上从点A向终点B匀速运动，同时，动点Q在上从点C向终点O匀速运动，它们同时到达终点，连结交于点D．

（1）求点B的坐标和a的值；

（2）当点Q运动到中点时，连结，求的面积；

（3）作交直线于点R．

①当为等腰三角形时，求的长度；

②记交于点E，连结，则的最小值为__________．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1），；（2）6；（3）①或或；②

【解析】

（1）根据令求算B的坐标；再根据，得出OC的斜率和AB的斜率相等进行求算；

（2）延长PQ与x轴交于G点，根据题意知：P点运动速度是Q点的两倍，得出点Q运动到中点时，P运动到AB中点，求出PQ的直线解析式从而得出G点的坐标，再根据求算即可；

（3）①，设AP=2t,CQ=t，易得：，表示出P、Q、R的坐标，再根据为等腰三角形分类讨论即可；

②根据①中P、Q的点坐标表示出PQ的函数解析式，从而求算D点坐标，再表示出E点坐标，根据距离公式表示出DE的长度，配方成顶点式求算最小值．

（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B

∴

又∵，点

∴即

∴

综上所述：B点坐标为，；

（2）延长PQ与x轴交于G点：

由（1）知：AB=10,OC=5, 根据题意知：P点运动速度是Q点的两倍

∴点Q运动到中点时，P运动到AB中点

∴

设PQ的解析式为：，代入得：

解得：

∴PQ的解析式为：

∴

∴

（3）①作

根据题意知：P点运动速度是Q点的两倍,设AP=2t,CQ=t

易得：

∴，代入得：

∴

当时：根据三线合一知：

解得：

∴CQ为；

当时：通过距离公式得：

，解得：（舍）

∴CQ为；

当时，通过距离公式得：

，解得：（舍）

∴CQ为

综上所述：当为等腰三角形时，求的长或或；

②设PQ的解析式为： 代入P、Q：

解得：

∴

设BC的解析式为： ，代入B、C得：

解得

∴BC的解析式为：

∴

∴由距离公式得：

∴当时，DE有最小值为

综上所述：DE最小值为