Question

如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线
O₁O₂相交于点M，且tan∠AM0₁=

3

3

，MD=4

3

．
（1）求⊙O₁的半径；
（2）求△ADB内切圆的面积；
（3）在直线l上是否存在点P，使△MO₂P相似于△MDB？若存在，求出PO₂的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）设⊙O₁的半径为r．连结O₁A，由切线性质可知O₁A⊥MA．由题意得∠AM0₁=30°，因此△MAO₁是一个含30度角的直角三角形，所以MO₁=2O₁A=2r，从而MD=3r=4

3

，由此求出⊙O₁的半径；
（2）利用互余由∠AM0₂=30°得到∠MO₂B=60°，则可判断△O₂BD为等边三角形，所以BD=O₂B=4

3

，∠DBO₂=60°，于是可计算出∠ABD=30°，同样可得∠MO₁A=60°，利用三角形外角性质可计算得∠O₁AD=

1

2

∠MO₁A=30°，则∠DAB=60°，所以∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=

3

3

BD=4，AB=2AD=8，利用直角三角形内切圆的半径公式得到△ADB内切圆的半径=

AD+BD-AB

2

=2

3

-2，然后根据圆的面积公式求解；
（3）先在Rt△MBO₂中，根据含30度的直角三角形三边的关系得MB=

3

O₂B=12，然后分类讨论：△MO₂P与△MDB有一个公共角，当△MO₂P∽△MDB时，利用相似比可计算出O₂P=8

3

；当△MO₂P∽△MBD时，利用相似比可计算出O₂P=8．

解答：解：（1）设⊙O₁的半径为r．
连结O₁A，如图，
∵MA为切线，
∴O₁A⊥MA．
∵tan∠AM0₁=

3

3

，
∴∠AM0₁=30°，
∴MO₁=2O₁A=2r．
∴MD=MO₁+O₁D=3r=4

3

，
∴⊙O₁的半径r=

4 3

3

．

（2）连结O₂B，如图，
∵∠AM0₂=30°，
∴∠MO₂B=60°，
而O₂B=O₂D，
∴△O₂BD为等边三角形，
∴BD=O₂B=4

3

，∠DBO₂=60°，
∴∠ABD=30°，
∵∠AM0₁=30°，
∴∠MO₁A=60°，
而O₁A=O₁D，
∴∠O₁AD=∠O₁DA，
∴∠O₁AD=

1

2

∠MO₁A=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ADB=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABD中，AD=

3

3

BD=4，AB=2AD=8，
∴△ADB内切圆的半径=

AD+BD-AB

2

=

4+4 3 -8

2

=2

3

-2，
∴△ADB内切圆的面积=π•（2

3

-2）²=（16-8

3

）π；

（3）存在．
在Rt△MBO₂中，MB=

3

O₂B=

3

×4

3

=12，
当△MO₂P∽△MDB时，

O2P

DB

=

MO2

MD

，即

O2P

4 3

=

8 3

4 3

，解得O₂P=8

3

；
当△MO₂P∽△MBD时，

O2P

BD

=

MO2

MB

，即

O2P

4 3

=

8 3

12

，解得O₂P=8，
综上所述，满足条件的O₂P的长为8或8

3

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、两圆相切的性质和直角三角形内切圆的半径；会利用含30度的直角三角形三边的关系和三角形相似比进行几何计算；会运用分类讨论的思想解决数学问题．