【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线经过点D(﹣2,﹣3)和点E(3,2),点P是第一象限抛物线上的一个动点.
(1)求直线DE和抛物线的表达式;
(2)在y轴上取点F(0,1),连接PF,PB,当四边形OBPF的面积是7时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线DE上存在两点M,N(点M在点N的上方),且MN=2,动点Q从点P出发,沿P→M→N→A的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,请直接写出此时点N的坐标.
【答案】(1)y=x﹣1,y=x2+x+2;(2)P(2,3)或(,);(3)N(,).
【解析】
(1)将点D、E的坐标代入函数表达式,即可求解;
(2)S四边形OBPF=S△OBF+S△PFB=×4×1+×PH×BO,即可求解;
(3)过点M作A′M∥AN,过作点A′直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路径最短,即可求解.
(1)将点D、E的坐标代入函数表达式得:,解得:
,故抛物线的表达式为:y=x2+x+2,
同理可得直线DE的表达式为:y=x﹣1…①;
(2)如图1,连接BF,过点P作PH∥y轴交BF于点H,
将点FB代入一次函数表达式,
同理可得直线BF的表达式为:y=+1,
设点P(x,),则点H(x,+1),
S四边形OBPF=S△OBF+S△PFB=×4×1+×PH×BO=2+2()=7,
解得:x=2或,
故点P(2,3)或(,);
(3)当点P在抛物线对称轴的右侧时,点P(2,3),
过点M作A′M∥AN,过作点A′直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路径最短,
∵MN=2,相当于向上、向右分别平移2个单位,故点A′(1,2),
A′A″⊥DE,则直线A′A″过点A′,则其表达式为:y=﹣x+3…②,
联立①②得x=2,则A′A″中点坐标为(2,1),
由中点坐标公式得:点A″(3,0),
同理可得:直线AP″的表达式为:y=﹣3x+9…③,
联立①③并解得:x=,即点M(,),
点M沿BD向下平移2个单位得:N(,).
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【题目】某市为了倡导居民节约用水,生活用自来水按阶梯式水价计费.如图是居民每户每月的水(自来水)费y(元)与所用的水(自来水)量x(吨)之间的函数图象.根据如图图象提供的信息,解答下列问题:
(1)当一户居民在某月用水为15吨时,求这户居民这个月的水费.
(2)当17≤x≤30时,求y与x之间的函数关系式;并计算某户居民上月水费为91元时,这户居民上月用水量多少吨?
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【题目】如图,直线AB//CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,EP平分∠AEF,FP平分∠CFE,∠BEP=α,∠DFP=β,则a+β=( )
A.180°B.225°C.270°D.315°
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【题目】如图,已知抛物线的对称轴是y轴,且点(2,2),(1,)在抛物线上,点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点,过P作PA⊥x轴于A,PC⊥y轴于C,延长PC交抛物线于E,设M是O关于抛物线顶点N的对称点,D是C点关于N的对称点.
(1)求抛物线的解析式及顶点N的坐标;
(2)求证:四边形PMDA是平行四边形;
(3)求证:△DPE∽△PAM,并求出当它们的相似比为时的点P的坐标.
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【题目】(7分)某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取整数,满分为100分)作为样本进行统计,并制作了如图频数分布表和频数分布直方图(不完整且局部污损,其中“■”表示被污损的数据).请解答下列问题:
成绩分组 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 8 | 0.16 |
60≤x<70 | 12 | a |
70≤x<80 | ■ | 0.5 |
80≤x<90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合计 | ■ | 1 |
(1)写出a,b,c的值;
(2)请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
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【题目】如图,在ABCD中,E是对角线BD上的一点,过点C作CF∥DB,且CF=DE,连接AE,BF,EF.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若∠ABE+∠BFC=180°,则四边形ABFE是什么特殊四边形?说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,BC是经过⊙H的圆心,交⊙H于点D、E,AB、AC是圆的切线,F、G是切点.
(1)求证:BH=CH;
(2)填空:①当∠FHG= 时,四边形FHCG是平行四边形;
②当∠FED= 时,四边形AFHG是正方形.
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【题目】在趣味运动会“定点投篮”项目中,我校七年级八个班的投篮成绩单位:个分别为:24,20,19,20,22,23,20,则这组数据中的众数和中位数分别是
A. 22个、20个 B. 22个、21个 C. 20个、21个 D. 20个、22个
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【题目】垦利区在进行“五城同创”的过程中,决定购买A,B两种树对某路段进行绿化改造,若购买A种树1棵,B种树3棵,需要2250元;购买A种树2棵,B种树5棵,需要3900元.
(1)求购买A,B两种树每棵各需多少元?
(2)考虑到绿化效果,购进A种树不能少于48棵,且用于购买这两种树的资金不低于52500元.若购进这两种树共100棵.问有哪几种购买方案?
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