先阅读材料.再结合要求回答问题．[问题情景]如图①:在四边形ABCD中.AB=AD.∠B=∠ADC=90°．E.F分别是BC.CD上的点.且线段BE.EF.FD满足BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．[初步思考]小王同学探究此问题的方法是:延长FD到G.使DG=BE.连结AG．先证明△ABE≌△ADG.再证明△AEF≌△AGF.可得出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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先阅读材料，再结合要求回答问题．
【问题情景】
如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且线段BE，EF，FD满足BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．
【初步思考】
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．
先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是

．

【探索延伸】
若将问题情景中条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，请判断上述数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【实际应用】
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处且相距210海里．试求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．

考点：全等三角形的应用,方向角

专题：阅读型

分析：【初步思考】利用△AEF≌△AGF，可得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系；
【探索延伸】首先证明△ABE≌△ADG（SAS），再得出△AEF≌△AGF（SSS），即可得出答案；
【实际应用】首先得出∠OAC+∠OBC=180°，得出符合探索延伸中的条件，进而得出答案．

解答：

解：【初步思考】∠EAF=

∠BAD；

【探索延伸】∠EAF=

∠BAD仍然成立．
证明：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，

BE=DG

∠B=∠ADG

AB=AD

，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．
在△AEF和△AGF中，

AE=AG

AF=AF

EF=GF

，
∴△AEF≌△AGF（SSS）．
∴∠EAF=∠GAF．
又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，
∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，
∴∠EAF=

∠BAD．

【实际应用】
如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C．
∵1.5小时后，舰艇甲行驶了90海里，舰艇乙行驶了120海里，
即AE=90，BF=120．
而EF=210，∴在四边形AOBC中，有EF=AE+BF，
又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件．
∴∠EOF=

∠AOB．
又∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，
∴∠EAF=

∠AOB=70°．
答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．

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