Question

8．如图，点B（4，4）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点C在双曲线y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）上，点A是x轴上一动点，连接BC、AC、AB．

（1）求k的值；
（2）如图1，当BC∥x轴时，△ABC的面积；
（3）如图2，当点A运动到x轴正半轴时，如△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B坐标代入双曲线y=$\frac{k}{x}$解析式，即可求出k的值；
（2）若BC与x轴平行，则有C与B纵坐标相同，把B纵坐标代入双曲线y=-$\frac{6}{x}$中，求出x的值，确定出C坐标，进而求出BC的长，三角形ABC面积以BC为底边，B纵坐标为高，求出即可；
（3）过点B、C作x轴的垂线，垂足为M、N，利用AAS得到三角形ABM与三角形CAN全等，利用全等三角形对应边相等得到BM=AN，AM=CN，设OA=x，表示出C坐标，代入双曲线解析式列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出A的坐标．

解答 解：（1）∵B（4，4）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=4×4=16；

（2）∵BC∥x轴，
∴B与C纵坐标相同，
把y=4代入y=-$\frac{6}{x}$中，得：x=-$\frac{3}{2}$，即C（-$\frac{3}{2}$，4），
∴BC=4+$\frac{3}{2}$=$\frac{11}{2}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•y_B纵坐标=11；

（3）过点B、C作x轴的垂线，垂足为M、N，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AC=BC，
∴∠ACN+∠CAN=90°，∠BAM+∠CAN=90°，
∴∠ACN=∠BAM，
在△ABM和△CAN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠BAM=∠ACN\\∠AMB=∠CNA\\ AB=CA\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AN=MB=4，CN=AM，
设OA=a，则有ON=AN-OA=4-a，CN=AM=OM-OA=4-a，
∴C（a-4，4-a）（a＜4），
把C坐标代入y=-$\frac{6}{x}$中，得：-（4-a）²=-6，
解得：a=4-$\sqrt{6}$．
则点A的坐标为（4-$\sqrt{6}$，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．