Question

19．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOC=100°，∠AOB=α．以OB为边作等边三角形△BOD，连接CD．
（1）求证：△ABO≌△CBD；
（2）当α=150°时，试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△COD是等腰三角形？（直接写结论）

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质证明△ABO≌△CBD即可；
（2）是直角三角形；利用△BAO≌△BCD，得到∠BDC=∠AOB=150°，再分别求出∠CDO、∠COD即可解答．
（3）分三种情况讨论，即可解答．

解答 解：（1）∵△ABC和△OBD都是等边三角形，
∴BA=BC，BO=BD，∠ABC=∠OBD=60°
∴∠ABC-∠OBC=∠OBD-∠OBC，即∠ABO=∠CBD，
在△ABO和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABO=∠CBD}\\{BO=BD}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△CBD（SAS）．
（2）直角三角形；
理由：∵△BAO≌△BCD
∴∠BDC=∠AOB=150°
又∵∠ODB=∠OBD=60°
∴∠CDO=360°-100°-150°-60°=50°
∴△COD是直角三角形．
（3）①要使CO=CD，需∠COD=∠ADO，
∴210°-α=α-50°，
∴α=130°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠CDO，
∴α-50°=50°，
∴α=100°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴210°-α=110°，
∴α=160°．
所以当α为100°、130°、160°时，△AOD是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．解答（3）题时，注意充分利用隐藏于题中的已知条件--周角是360°．