Question

14．如图，已知平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△AOC的面积；
（3）已知点P是x轴正半轴上的一点，若△COP是等腰三角形，直接写点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先令y=0，求出x的值可得出A点坐标；再令x=0，求出y的值即可得出B点坐标；联立两直线的解析式求出x、y的对应值即可得出C点坐标；
（2）根据A、C两点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分OC=PC，OC=OP，PC=OP三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0）；
∵令x=0，则y=2，
∴B（0，2）；
∵$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+2\\ y=x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=4\end{array}\right.$，
∴C（4，4）；

（2）∵A（-4，0），C（4，4）
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•y_C=$\frac{1}{2}$×4×4=8；

（3）如图，当OC=PC时，
∵C（4，4），
∴P₁（8，0）；
当OC=OP时，
∵C（4，4），
∴OC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴P₂（4$\sqrt{2}$，0）；
当PC=OP时，设P（x，0），
则x=$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$，解得x=4，
∴P₃（4，0）．
综上所述，P点坐标为P₁（8，0），P₂（4$\sqrt{2}$，0），P₃（4，0）．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标问题及等腰三角形的判定等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．