Question

如图，⊙O的半径为1，弦AB、CD互相垂直，垂足为E，求AE²+BE²+CE²+DE²的值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF，CF，由圆周角定理可知∠DCF=∠DAF=90°，即CF⊥CD，根据AB⊥CD可知CF∥AB，故

AF

=

BC

，即AF=BC，再在Rt△AFD中利用勾股定理即可得出结论．

解答：解；连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF，CF，BC，
∵DF是⊙O的直径，
∴DF=2，∠DCF=∠DAF=90°，即CF⊥CD．
∵AB⊥CD，
∴CF∥AB，故

AF

=

BC

，即AF=BC，
在Rt△AED中，AE²+DE²=AD²，
在Rt△BCE中，CE²+BE²=BC²，即CE²+BE²=AF²．
在Rt△ADF中，
∵AF²+AD²=DF²，
∴AE²+DE²+CE²+BE²=DF²=4．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．