Question

3．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）若AD=$\frac{8}{5}$，sinB=$\frac{4}{5}$，求线段BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，证出AD∥OC，由平行线的性质证出∠DAC=∠OCA，即可得出结论；
（2）由圆周角定理证出∠ACB=90°=∠ADC，证明△ADC∽△ACB，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）由相似三角形的性质得出∠ACD=∠B，得出sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$=sinB=$\frac{4}{5}$，求出AC=2，AB=$\frac{5}{2}$，在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出BC的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD切⊙O于C，
∴CO⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO．
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠BAD．

（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AD•AB；
（3）解：由（2）得：△ADC∽△ACB，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$=sinB=$\frac{4}{5}$，
∴AC=$\frac{5}{4}$AD=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{5}$=2，
∵AC²=AD•AB，
∴AB=$\frac{A{C}^{2}}{AD}$=$\frac{{2}^{2}}{\frac{8}{5}}$=$\frac{5}{2}$，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握切线的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．