Question

5．如图，射线AM上有一点B，AB=6，点C是射线AM上异于B的一点，过C作CD⊥AM，且CD=$\frac{4}{3}$AC，过D点作DE⊥AD，交射线AM于E，在射线CD取点F，使得CF=CB，连接AF并延长，交DE于点G，设AC=3x．
（1）当C在B点右侧时，求AD．DF的长．（用关于x的代数式表示）
（2）当x为何值时，△AFD是等腰三角形；
（3）作点D关于AG的对称点D′，连接FD′，GD′，若四边形DFD′G是平行四边形，求x的值．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得：CD=4x，根据勾股定理得：AD=5x，由AB=6且C在B点右侧，可以依次表示BC、CF、DF的长；
（2）分两种情况：
①当C在B点的右侧时，AF=DF，②当C在线段AB上时，又分两种情况：i）当CF＜CD时，如图3，ii）当CF＞CD时，如图4，由AF=DF，作等腰三角形的高线FN，由等腰三角形三线合一得：AN=ND=2.5x，利用同角的三角函数列比例式可求得x的值；
（3）先根据四边形DFD′G是平行四边形证明它为菱形，由角的关系得：AF平分∠DAC，作辅助线，由角平分线的性质得：FN=FC，根据第2问分两种情况进行计算，根据同角的三角函数列式可求得x的值．

解答 解：（1）∵CD=$\frac{4}{3}AC$，AC=3x，
∴CD=4x，
∵CD⊥AM，
∴∠ACD=90°，
由勾股定理得：AD=5x，
∵AB=6，C在B点右侧，
∴BC=AC-AB=3x-6，
∵BC=FC=3x-6，
∴DF=CD-FC=4x-（3x-6）=x+6；
（2）分两种情况：
①当C在B点的右侧时，
∴AC＞AB，
∴F必在线段CD上，
∵∠ACD=90°，
∴∠AFD是钝角，若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，过F作FN⊥AD于N，如图2，
∴AN=ND=2.5x，
cos∠ADC=$\frac{DN}{DF}$=$\frac{DC}{AD}$，
$\frac{2.5x}{x+6}=\frac{4x}{5x}$，
x=$\frac{48}{17}$；
②当C在线段AB上时，同理可知若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，
i）当CF＜CD时，过F作FN⊥AD于N，如图3，
∵AB=6，AC=3x，
∴BC=CF=6-3x，
∴DF=4x-（6-3x）=7x-6，
cos∠ADC=$\frac{DN}{DF}=\frac{CD}{AD}$，
∴$\frac{2.5x}{7x-6}=\frac{4x}{5x}$，
x=$\frac{48}{31}$，
ii）当CF＞CD时，如图4，
BC=CF=6-3x，
∴FD=AD=6-3x-4x=6-7x，
则6-7x=5x，
x=$\frac{1}{2}$，
综上所述，当x=$\frac{48}{17}$或$\frac{48}{31}$或$\frac{1}{2}$时，△AFD是等腰三角形；
（3）∵四边形DFD′G是平行四边形，且DF=D′F，
∴?DFD′G是菱形，
∴DF=DG，
∴∠DFG=∠DGF，
∵∠AFC=∠DFG，
∴∠DGF=∠AFC，
∵∠ACD=∠ADG=90°，
∴∠FAC=∠DAG，
即AF平分∠DAC，
过F作FN⊥AD于N，
当C在AB的延长线上时，如图2，FN=FC=3x-6，DF=x+6，
sin∠CDA=$\frac{3x-6}{x+6}=\frac{3}{5}$，
解得：x=4，
当C在AB边上时，如图5，FN=FC=6-3x，
DF=7x-6，
sin∠CDA=$\frac{6-3x}{7x-6}$=$\frac{3}{5}$，
x=$\frac{4}{3}$，
综上所述，若四边形DFD′G是平行四边形，x的值是4或$\frac{4}{3}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、同角的三角函数以及动点问题，采用分类讨论的思想，并参考数形结合解决问题．