Question

19．如图，A（-1，0），B（5，0），C（0，5），抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线BC绕着点C旋转，与抛物线交于P点，问是否存在这样的点P，使得S_△BCP=S_△ABC？若存在求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点M为直线BC上一动点，点N为抛物线上一动点，若以M，N，C，O为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有这样的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以设该抛物线方程为y=a（x-5）（x+1）（a≠0），然后把点C的坐标代入求得系数a的值；
（2）根据点A、B、C的坐标求得=S_△ABC=15，然后由二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点的求法以及三角形的面积公式进行解答；
（3）需要分类讨论：OC为该平行四边形的对角线和边两种情况，利用平行四边形的对边相等且平行的性质和两点间的距离公式进行解答．

解答 解：（1）∵该抛物线与x轴的交点坐标是A（-1，0），B（5，0），
∴设该抛物线方程为y=a（x-5）（x+1）（a≠0），
把C（0，5）代入，得
5=a（0-5）（0+1），
解得a=-1，
则该抛物线解析式为y=-（x-5）（x+1）或（y=-x²+4x+5）．

（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×5=15．
设直线BC的关系式为y=kx+b（k≠0），
把点B（5，0），C（0，5）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式为：y=-x+5．
①当P点在直线BC上方时如图1所示：过P点作PD⊥x轴于点D，交BC于E点．
则S_△BCP=S_△PEC+S_△PEB
=$\frac{1}{2}$PE•OB，
=$\frac{5}{2}$[-x²+4x+5-（-x+5）]，
=$\frac{5}{2}$（-x²+5x）．
又∵S_△BCP=S_△ABC，
∴$\frac{5}{2}$（-x²+5x）=15，
解得：x₁=2，x₂=3，
∴点P的坐标是（2，9）或（3，8）；
②同理，当P点在BC下方时，S_△BCP=S_△PEC+S_△PEB
=$\frac{1}{2}$PE•OB，
=$\frac{5}{2}$（x²-4x-5-x+5），
=$\frac{5}{2}$（x²-5x）．
又∵S_△BCP=S_△ABC，
∴$\frac{5}{2}$（x²-5x）=15，
即：$\frac{5}{2}$（x²-5x）=15，
解得：x₁=1，x₂=6，
∴（6，-7）．
综上所述，点P的坐标为（2，9）或（3，8）或（6，-7）．

（3）存在．理由如下：设M（a，-a+5）．
如图2，当OC为对角线时，CM∥ON，则直线ON的解析式为y=-x．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4x+5}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\\{y=-\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{5}-5}{2}}\end{array}\right.$，
即N的坐标是（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，-$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-5}{2}$）．
又∵CM=NO，
∴点M的坐标为（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）．
同理，当OC为边时，点M的坐标是（$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$，$\frac{10-3\sqrt{5}}{2}$）或（-$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{15+3\sqrt{5}}{2}$），
综上所述，点M的坐标是（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$，$\frac{10-3\sqrt{5}}{2}$）或（-$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{15+3\sqrt{5}}{2}$）．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、一次函数与二次函数交点、三角形的面积公式以及平行四边形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．