Question

8．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E，F分别在BC，CD上，且∠AEF=∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．
（1）如图1，如果AB=BC，请写出猜想，并加以证明；
（2）如图2，如果AB=k•BC，（1）中的结论是否发生变化？请写出猜想，不用证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点E作EH∥AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，根据等腰三角形的判定和性质得到EH=EC，由平行线的性质和等量代换得到∠EAC=∠EFC，推出△AEH≌△FEC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，过点E作EH∥AB交AC于点H．由（1）可得∠EAC=∠EFC，根据平行线的性质得到∠BAC=∠D，得到∠AHE=∠DCB=∠ECF，推出△AEH∽△FEC，根据相似三角形的性质得到AE：EF=EH：EC，由于△ABC∽△HEC，得到EH：EC=AB：BC=k，即可得到结论．

解答 （1）猜想：AE=EF，
证明：如图1，过点E作EH∥AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB，
∴EH=EC
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCB=180°．
∵∠BAC=∠D，
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
在△AEH与△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠EFC}\\{∠AHE=∠FCE}\\{EH=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（2）猜想：AE=kEF，
证明：如图2，过点E作EH∥AB交AC于点H．
由（1）可得∠EAC=∠EFC，
∵AD∥BC，∠BAC=∠D，
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF=EH：EC，
∵EH∥AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC=AB：BC=k，
∴AE：EF=k，
∴AE=kEF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．