Question

【题目】已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图，当点M与点A重合时，求：

①抛物线的解析式；

②点N的坐标和线段MN的长；

（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①②N（，－4），（2）存在．点M的坐标为（2，－1）或（4，3）

【解析】

（1）①由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式．

②联立和，求出点N的坐标，过N作NC⊥x轴，由勾股定理求出线段MN的长．

（2）根据相似三角形的性质，可得关于m或n的方程，可得M点的坐标，要分类讨论，以防遗漏．

解：（1）①∵直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，

∴A（，0），B（0，－5）．

当顶点M与点A重合时，∴M（，0）．

∴抛物线的解析式是：，即．

②∵N是直线与在抛物线的交点，

∴，解得或．

∴N（，－4）．

如图，过N作NC⊥x轴，垂足为C．

∵N（，－4），∴C（，0）

∴NC=4．MC=OM－OC=．

∴．

（2）设M（m，2m-5），N（n，2n-5）．
，

，

则OB=2OA，，

当∠MON=90°时，

∵AB≠MN，且MN和AB边上的高相等，因此△OMN与△AOB不能全等，
∴△OMN与△AOB不相似，不满足题意．
当∠OMN=90°时，，即，解得，

则m2+（2m-5）2=（）2，解得m=2，
∴M（2，-1）；

当∠ONM=90°时，，即，解得，

则n2+（2n-5）2=（）2，解得n=2，
解得：m=4，
则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．