Question

10．小红和小明在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点E，探索∠E与∠A，∠C的数量关系．
（一）发现：在图1中，小红和小明都发现：∠AEC=∠A+∠C；
小红是这样证明的：如图7过点E作EQ∥AB．
∴∠AEQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵EQ∥AB，AB∥CD．
∴EQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CEQ=∠C 
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C  即∠AEC=∠A+∠C．
小明是这样证明的：如图7过点E作EQ∥AB∥CD．
∴∠AEQ=∠A，∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C
请在上面证明过程的横线上，填写依据：两人的证明过程中，完全正确的是小红的证法．
（二）尝试：
（1）在图2中，若∠A=110°，∠C=130°，则∠E的度数为120°；
（2）在图3中，若∠A=20°，∠C=50°，则∠E的度数为30°．
（三）探索：
装置图4中，探索∠E与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
（四）猜想：
（1）如图5，∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之间有什么关系？（直接写出结论）
（2）如图6，你可以得到什么结论？（直接写出结论）

Answer 1

分析 （一）小红、小明的做法，都是做了平行线，利用平行线的性质；（二）的（1）、（四）都可仿照（一），通过添加平行线把分散的角集中起来．

解答 解：（一）∵小明的辅助线做不出来，所以两人的证明过程中，小红的完全正确；答案：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；小红的证法．
（二）（1）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．∵EF∥AB，
∴∠A+∠AEF=180°，
∵∠A=110°，∴∠AEF=70°．
∵EF∥CD，
∴∠C+∠CEF=180°，
∵∠C=130°，∴∠CEF=50°．
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=70°．+50°=120°．
（2）∵AB∥CD，
∴∠EOB=∠C=50°
∵∠EOB=∠A+∠E，
∵∠E=∠EOB-∠A=50°-20°=30°．
答案：120°，30°．
（三）∠E=∠A-∠C．
理由：延长EA，交CD于点F．
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠EAB
∵∠EFD=∠C+∠E
∴∠EAB=∠C+∠E
∴∠E=∠EAB-∠C．
（四）（1）可通过过点E、F、G分别做AB的平行线，得到结论．
∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．
（2）同上道理一样，可得到结论：∠E₁+∠E₂+…+∠E_n=∠F₁+∠F₂+…∠F_n-1+∠B+∠D．

点评 本题考查了平行线的性质、三角形的外角与内角关系及角的和差．添加平行线把分散的角集中起来，是解决问题的关键．