Question

3．如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、PN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜3），四边形MNQP的面积为S cm²．
（1）在点P、Q在运动的过程中，t为何值时，PQ∥AB？
（2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的$\frac{7}{18}$？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当PQ∥AB时，由△ABC是等边三角形，得出△PQC是等边三角形，PC=QC，得出方程6-2t=t，解方程即可；（2）△APM和△BQN都是有一个角是60°的直角三角形，根据勾股定理可分别求出AM，PM，BN和QN，然后求出直角梯形的高MN．用梯形面积公式求出四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式；
（3）根据题意列出方程即可解得t的值，然后看是否满足0＜t＜4．

解答 解：（1）t=2s时，PQ∥AB；理由如下：
当PQ∥AB时，∵△ABC是等边三角形，
∴△PQC是等边三角形，
∴PC=QC，
∴6-2t=t，
解得：t=2，
即t=2s时，PQ∥AB；
（2）根据题意得：AP=2t，QB=8-t，△APM和△QNB是直角三角形，四边形MNQP是直角梯形．
在Rt△APM和Rt△QNB中，AM=$\frac{1}{2}$AP=t，PM=$\sqrt{3}$t，BN=$\frac{1}{2}$（6-t），QN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-t），
∴MN=AB-AM-BN=6-t-$\frac{1}{2}$（6-t）=3-$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$（PM+QN）•MN=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6-t）]•（3$-\frac{1}{2}$t）=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
即S=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$；
（3）假设存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的$\frac{7}{18}$，
即S=$\frac{7}{18}$S_△ABC，
-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7}{18}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²，
整理得：t²=8，
解得：t=±2$\sqrt{2}$（负值舍去），
∴t=2$\sqrt{2}$s时，四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的$\frac{7}{18}$．

点评 本题是相似形综合题，考查了正三角形的性质和直角三角形的性质、三角形和梯形面积的计算、函数解析式的求法以及方程的知识；本题难度较大，综合性强，把函数和面积融合在一起，比较复杂，检测学生的计算能力．