Question

【题目】已知：抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）D(4，3)，8

【解析】

（1）先求出点A，B的坐标，结合AB的长，即可得到答案；

（2）过点D作DK⊥x轴于点K，过点D作DH⊥CE于点H，设∠DAB＝α，易得，进而求出CE的长，即可求解；

（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD的延长线于点N，连接CN．易得∠ECF＝∠DAB=∠HDE＝∠PCF=α，设HE＝3k，CP＝5k，先证△CFN为等腰三角形，再证PC＝PN＝5k，由勾股定理得（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，可得，结合，即可求解．

（1）∵，令y＝0，则（x+2）（x﹣m）＝0，解得：，

∴A(﹣2，0)，B(m，0)，

∵AB＝7，

∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，

∴；

（2）过点D作DK⊥x轴于点K，过点D作DH⊥CE于点H，设∠DAB＝α，

∵点D在第一象限内抛物线上，点D的横坐标为d，

∴，

∴，

∵C(0，5)，

∴EO＝AOtanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，

∴；

（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD的延长线于点N，连接CN．

∵EF⊥CE，DH⊥CE，

∴EF∥DH∥AB，

∵设∠DAB＝α，∠OCP＝2∠DAB，CF平分∠OCP，

∴∠ECF＝∠DAB=∠HDE＝∠PCF=α，

∵HE：CP＝3：5，

∴设HE＝3k，CP＝5k，

由（2）可知：CE＝HD＝d，

又∵∠CEF＝∠CHD＝90°，

∴△CEF≌△DHE（ASA），

∴EF＝HE，CF＝DE，

∵EF∥DN，NF∥DE，

∴四边形EDNF为平行四边形，

∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∠DNF=∠DEF=α，

∴△CFN为等腰三角形，

∴∠FCN＝∠FNC，

∴∠PCN＝∠FCN-α=∠FNC-α=∠PNC，

∴PC＝PN＝5k，

∴PD＝2k，

∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，

∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，

∴(d﹣6k)(d+k)＝0，

∴d＝6k，

∴在Rt△DHE中，，

由（2）知，

∴．

∴d＝4，

∴D(4，3)，．