Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8，0）和点C（9， ）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求四边形ABCM的面积；

（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（， ）

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的解析式，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性求得点A的坐标，再将A、C的坐标代入函数解析式，求得a、c的值，即可求得这条抛物线的表达式；（2）因点M在对称轴上，设M（4，y），由MA=MC，即,根据勾股定理列出方程 ，解得y=-3，即可得M（4，-3），再由四边形ABCM为梯形，根据梯形的面积公式即可求得四边形ABCM的面积；（3）用待定系数法求得直线BC的解析式，因AD//BC，即可求得直线AD的解析式，设D（x，-3x），根据勾股定理得方程解得x的值，即可求得点D的坐标.

试题解析：

（1）由题意得：抛物线对称轴，即．

点B（8，0）关于对称轴的对称点为点A（0，0）∴，将C（9，-3）代入，得

∴抛物线的表达式：

（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）

又∵MA=MC，即

∴，解得y=-3，∴M（4，-3）

∵MC//AB且MC≠AB，∴四边形ABCM为梯形，，AB=8，MC=5，AB边上的高h=yM=3

∴

（3）将点B（8，0）和点C（9，﹣3）代入可得

，解得

由题意得．∵AD//BC，∴，

又∵AD过（0，0），DC=AB=8，设D（x，-3x），

，

解得（不合题意，舍去），,

∴，

∴点D的坐标．