Question

10．如图，函数y=-$\frac{1}{2}$x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），硅点P作x轴的垂线，分别交函数y=-$\frac{1}{2}$x+b和y=x的图象于点C、D
（1）求点A的坐标；
（2）若OB=CD，求a的值；
（3）连接BD，求△BMD的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；
（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=CD=3，再表示出C点坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+3），D点坐标为（a，a），所以a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=3，然后解方程即可；
（3）过D作DF⊥OB于F，过M作ME⊥OB于E，根据D（4，4），B（0，3），点M的横坐标为2，求得OB=3，DF=4，ME=2，于是得到S_△BDM=S_△DBO-S_△MBO=$\frac{1}{2}×$3×4-$\frac{1}{2}×3×2$=3．

解答 解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，2），
把M（2，2）代入y=-x+b得-1+b=2，解得b=3，
∴一次函数的解析式为y=-x+3，
把y=0代入y=-x+3得-x+3=0，解得x=6，
∴A点坐标为（6，0）；

（2）把x=0代入y=-x+3得y=3，
∴B点坐标为（0，3），
∵CD=OB，
∴CD=3，
∵PC⊥x轴，
∴C点坐标为（a，-a+3），D点坐标为（a，a）
∴a-（-a+3）=3，
∴a=4；

（3）过D作DF⊥OB于F，过M作ME⊥OB于E，
∵D（4，4），B（0，3），点M的横坐标为2，
∴OB=3，DF=4，ME=2，
∴S_△BDM=S_△DBO-S_△MBO=$\frac{1}{2}×$3×4-$\frac{1}{2}×3×2$=3．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．