Question

5．如图，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$交坐标轴于A、C两点，且半径为1的⊙O有公共点B，问：
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）作OD⊥AC于D，则∠ODA=90°，由直线解析式得出A（2，0），C（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），得出OA=2，OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由三角函数求出∠A=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD=$\frac{1}{2}$OA=1，即可得出直线AC与⊙O相切；
（2）由直线与⊙O有公共点B，得出B为切点与D重合，即可得出AB=$\sqrt{3}$OD=$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）直线AC与⊙O相切，理由如下：
作OD⊥AC于D，则∠ODA=90°，
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$交坐标轴于A、C两点，
∴A（2，0），C（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴OA=2，OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠OAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴直线AC与⊙O相切；
（2）由（1）得：直线AC与⊙O相切，
∵直线与⊙O有公共点B，
∴B为切点与D重合，
∴AB=$\sqrt{3}$OD=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系的判定方法、一次函数图象上点的坐标特征、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明直线与圆相切是解决问题的关键．