【题目】如图,AB是⊙O的直径,C、G是⊙O上两点,且AC=CG,过点C的直线CD⊥BG于点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.
(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)若,求∠E的度数.
(3)连接AD,在2的条件下,若CD=,求AD的长.
【答案】
(1)
【解答】证明:如图1,连接OC,AC,CG,
∵AC=CG,
∴,
∴∠ABC=∠CBG,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OCB=∠CBG,
∴OC∥BG,
∵CD⊥BG,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)
解:∵OC∥BD,
∴△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,
∴,
∴,
∵OA=OB,
∴AE=OA=OB,
∴OC=OE,
∵∠ECO=90°,
∴∠E=30°;
(3)
解:如图2,过A作AH⊥DE于H,
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°,
∴∠CBD=EBD=30°,
∵CD=,
∴BD=3,DE=,BE=6,
∴AE=BE=2,
∴AH=1,
∴EH=,
∴DH=,
在Rt△DAH中,AD=.
【解析】(1)如图1,连接OC,AC,CG,由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG,根据同圆的半径相等得到OC=OB,于是得到∠OCB=∠OBC,等量代换得到∠OCB=∠CBG,根据平行线的判定得到OC∥BG,即可得到结论;
(2)由OC∥BD,得到△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,得到,,根据直角三角形的性质即可得到结论;
(3)如图2,过A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到BD=3,DE=3,BE=6,在Rt△DAH中,AD=.
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【题目】如图,等腰直角三角形OAB的一条直角边在y轴上,点P是边AB上的一个动点,过点P的反比例函数y= 的图象交斜边OB于点Q,
(1)当Q为OB中点时,AP:PB=
(2)若P为AB的三等分点,当△AOQ的面积为 时,k的值为
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【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC= ,点O为Rt△ABC内一点,连接AO、BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,则OA+OB+OC= .
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【题目】如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于点P(m,﹣1)和Q(1,2)两点,记一次函数与坐标轴的交点分别为A,B,连接OP,OQ.
(1)求两函数的解析式;
(2)求证:△POB≌△QOA.
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【题目】如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿x轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1 , 第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2 , 第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3 , 按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An , 如果点An与原点的距离不小于20,那么n的最小值是 .
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【题目】如图,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数(k>0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;
(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少?
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【题目】某校有学生2000名,为了了解学生在篮球、足球、排球和乒乓球这四项球类运动中最喜爱的一项球类运动情况,对学生开展了随机调查,丙将结果绘制成如下的统计图.
请根据以上信息,完成下列问题:
(1)本次调查的样本容量是 ;
(2)某位同学被抽中的概率是 ;
(3)据此估计全校最喜爱篮球运动的学生人数约有 名;
(4)将条形统计图补充完整.
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【题目】联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台,很快售完.商场用相同的货款再次购进这款电风扇,因价格提高30元,进货量减少了10台.
(1)这两次各购进电风扇多少台?
(2)商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇,商场获利多少元?
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【题目】如图,AB∥DE,AB=DE,BF=EC.
(1)求证:AC∥DF;
(2)若CF=1个单位长度,能由△ABC经过图形变换得到△DEF吗?若能,请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程;若不能,说明理由.
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