Question

对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1.

（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x＋1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y＝﹣x＋1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

（3）将函数y＝x²（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？　

Answer 1

（2）∵函数y＝﹣x＋1的图象是y随x的增大而减小，

∴当x＝a时，y＝﹣a＋1，

又边界值为2，∴﹣a＋1＝2，解得a＝﹣1，

当x＝b时，y＝﹣b＋1，则﹣2≤﹣b＋1≤2，

又b＞a，a＝﹣1，

∴解得﹣1＜b≤3.

（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，函数值小于﹣1，

此时函数的边界值t≥1，这与题意不符，∴m≤1.

当x＝﹣1时，y＝1，即过点（﹣1，1），

当x＝0时，y_最小＝0，即过点（0，0），

都向下平移m个单位，则对应点的坐标为（﹣1，1－m），（0，﹣m），

由边界值定义可得≤1－m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，

∴解得0≤m≤或≤m≤1.