Question

如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径作半圆O交斜边于D，OE∥AC，交AB于E，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
②连接BD，若⊙O的半径为4，DE=3，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：①首先连接OD，由OE∥AC，易证得∠BOE=∠DOE，即可证得△BOE≌△DOE，则可得∠ODE=∠OBE=90°，即可证得结论；
②由⊙O的半径为4，DE=3，利用勾股定理即可求得OE的长，由等腰三角形的三线合一，可得OE垂直平分BD，继而求得答案．

解答：①证明：连接OD，
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠C，∠DOE=∠ODC，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠BPE=∠DOE，
在△BOE和△DOE中，

OB=OD ∠BOE=∠DOE OE=OE

，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

②解：∵⊙O的半径为4，DE=3，
∴OD=4，
∵∠ODE=90°，
∴OE=

OD2+DE2

=5，
∵OD=OB，∠DOE=∠BOE，
∴OE⊥BD，DF=BF，
∵S_△ODE=

1

2

DE•OD=

1

2

OE•DF，
∴DF=

OD•DE

OE

=2.4，
∴BD=2DF=4.8．

点评：此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．