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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.

(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得

解得:

所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3.

设直线AB的解析式是y=kx+b,

把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得:

解得:

所以直线AB的解析式是y=x﹣3


(2)

解:设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),

∵p在第四象限,

∴PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t=﹣(t﹣ 2+

当t= 时,二次函数取得最大值 ,即PM最长值为

则SABM=SBPM+SAPM= × ×3=


(3)

解:存在,

理由如下:

∵PM∥OB,

∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,

①当P在第四象限:PM=OB=3,PM最长时只有 ,所以不可能有PM=3.

②当P在第一象限:PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,

解得t1= ,t2= (舍去),

所以P点的横坐标是

③当P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1= (舍去),t2=

所以P点的横坐标是

所以P点的横坐标是


【解析】(1)待定系数法分别求解可得;(2)根据题意可设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),继而可得PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣ 2+ ,知PM最长值为 ,根据SABM=SBPM+SAPM可得答案;(3)由PM∥OB,可知当PM=OB时点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,据此可分以下三种情况:①当P在第四象限;②当P在第一象限;③当P在第三象限;由PM=OB=3列出关于t的方程分别求解可得.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质,需要了解二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.

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