【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得
,
解得: ,
所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
设直线AB的解析式是y=kx+b,
把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得: ,
解得: ,
所以直线AB的解析式是y=x﹣3
(2)
解:设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),
∵p在第四象限,
∴PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t=﹣(t﹣ )2+ ,
当t= 时,二次函数取得最大值 ,即PM最长值为 ,
则S△ABM=S△BPM+S△APM= × ×3=
(3)
解:存在,
理由如下:
∵PM∥OB,
∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,
①当P在第四象限:PM=OB=3,PM最长时只有 ,所以不可能有PM=3.
②当P在第一象限:PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,
解得t1= ,t2= (舍去),
所以P点的横坐标是 ;
③当P在第三象限:PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1= (舍去),t2= ,
所以P点的横坐标是 .
所以P点的横坐标是 或
【解析】(1)待定系数法分别求解可得;(2)根据题意可设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),继而可得PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣ )2+ ,知PM最长值为 ,根据S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案;(3)由PM∥OB,可知当PM=OB时点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,据此可分以下三种情况:①当P在第四象限;②当P在第一象限;③当P在第三象限;由PM=OB=3列出关于t的方程分别求解可得.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质,需要了解二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读下面的文字,解答问题. 大家知道 是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分,你同意小明的表示方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理的,因为 的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.
请解答:已知10+ =x+y,其中x是整数,且0<y<1,求x﹣y的相反数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”,某校举办了首届“中国诗词大会”,经选拔后有50名学生参加决赛,这50名学生同时默写50首古诗词,若每正确默写出一首古诗词得2分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:
请结合图表完成下列各题:
(1)①表中a的值为 ; ②频数分布直方图补充完整;
(2)若测试成绩不低于80分为优秀,则本次测试的优秀率是
(3)第5组10名同学中,有4名男同学,现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习,且4名男同学每组分两人,求小明与小强两名男同学能分在同一组的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A (﹣1,2)、B (0,﹣1)、C (1,﹣2).
(1)求二次函数的表达式;
(2)画出二次函数的图象.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列事件中,是必然事件的是( )
A.射击运动员射击一次命中10环B.任意一个三角形的内角和360o
C.掷一次骰子,向上一面的点数为6D.水加热到100℃时,水沸腾
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在直角坐标系xoy中,O是坐标原点,点A在x正半轴上,OA=12 cm,点B在y轴的正半轴上,OB=12cm,动点P从点O开始沿OA以2 cm/s的速度向点A移动,动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动,动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动,移动时间为t(0<t<6)s.
(1)求∠OAB的度数.
(2)以OB为直径的⊙O′与AB交于点M,当t为何值时,PM与⊙O′相切?
(3)是否存在△RPQ为等腰三角形?若存在,请直接写出t值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com