Question

如图（1），线段AB与射线OC相交于点O，且∠BOC=60°，AO=3，OB=1，动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，在射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）当t=3秒时，则OP=        ，=       ；

（2）当△OPB是直角三角形时，求t的值；

（3）如图（2），当AP=AB,过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，连接QP,QO、AP交于点F,试证明△APQ∽△BPO。

Answer 1

解：（1）OP=3，=3:4       4分      

       （2）①∵∠BOP=60°∴∠BOP不为直角； 5分

            ②当∠OBP=90°时，如图所示

             ∵∠BOP=60°∴∠OPB=30°

             ∴OP=2OB,

              ∴t=2s                            7分

             ③当∠OPB=90°时，如图所示

            ∵∠BOP=60°∴∠OBP=30°

             ∴OB=2OP,

∴2t=1     ∴t=s              8分

综上，当△OPB为直角三角形时，t=2s或s     9分

(3) ∵AQ∥BP，

∴ ∠QAP=∠APB

∵ AP=AB

∴∠APB=∠B   ∴ ∠QAP=∠B

又∵ ∠QOP=∠B    

∴ ∠QAP=∠QOP

又∵∠QFA=∠PFO

∴ △QFA∽△PFO

∴ ，                      11分

即                        12分

又∵ ∠PFQ=∠OFA，

∴ △PFQ∽△OFA                     13分

∴ ∠QPA=∠QOA.

∵ ∠AOC=∠OPB+∠B=∠QOA+∠QOP，∠B=∠QOP，

∴∠QOA=∠OPB    ∴∠OPB =∠QPA.

∴ △APQ∽△BPO.