【题目】阅读下列两则材料,回答问题,材料一:定义直线y=ax+b与直线y=bx+a互为“互助直线”,例如,直线y=x+4与直y=4x+1互为“互助直线”;材料二:对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),P1、P2两点间的直角距离d(P1,P2)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.如:Q1(﹣3,1)、Q2(2,4)两点间的直角距离为d(Q1,Q2)=|﹣3﹣2|+|1﹣4|=8;材料三:设P0(x0,y0)为一个定点,Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点,我们把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离.
(1)计算S(﹣1,6),T(﹣2,3)两点间的直角距离d(S,T)= ;
(2)直线y=﹣2x+3上的一点H(a,b)又是它的“互助直线”上的点,求点H的坐标.
(3)对于直线y=ax+b上的任意一点M(m,n),都有点N(3m,2m﹣3n)在它的“互助直线”上,试求点L(5,﹣1)到直线y=ax+b的直角距离.
【答案】(1)4;(2)点H(1,1);(3)5
【解析】
(1)根据两点间的直角距离公式即可得;
(2)先根据“互助直线”的定义得出互助直线的解析式,再联立求解即可得;
(3)先根据“互助直线”的定义得出互助直线的解析式,再根据点M、N的坐标可得一个关于a、b的方程组,依据“对于任意一点M都成立”可求出a、b的值,从而可得直线的解析式,然后根据点到直线的直角距离的定义即可得.
(1)由两点间的直角距离公式得:
故答案为:4;
(2)直线的“互助直线”为
联立,解得
则点H的坐标为;
(3)直线的“互助直线”为
由题意得:
解得
对于任意一点,上述等式都成立
则,解得
因此,直线的解析式为
设点是直线的动点
则
当时,
当时,
当时,
综上,的最小值为
则点到直线的直角距离为.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点都在格点上,请完成下列任务:
(1)将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C;
(2)求线段AC旋转到A1C的过程中,所扫过的图形的面积;
(3)以点O为位似中心,位似比为2,将△A1B1C放大得到△A2B2C2(在网格之内画图).
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【题目】如图1,中,于,且.
(1)试说明是等腰三角形;
(2)已知,如图2,动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动,同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动,设点运动的时间为(秒).
①若的边于平行,求的值;
②若点是边的中点,问在点运动的过程中,能否成为等腰三角形?若能,求出的值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;
②a=1;
③当x=0时,y2﹣y1=4
④2AB=3AC.
其中正确结论是______.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线交于点O,点E是菱形外一点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形DECO是矩形;
(2)连接AE交BD于点F,当∠ADB=30°,DE=3时,求菱形ABCD的面积.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB经过点O,CD是弦,且CD⊥AB于点F,连接AD,过点B的直线与线段AD的延长线交于点E,且∠E=∠ACF.
(1)若CD=2, AF=3,求⊙O的周长;
(2)求证:直线BE是⊙O的切线.
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【题目】如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求此反比例函数的表达式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
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