Question

2．如图，抛物线y=ax²+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；
（3）在（2）的条件下，抛物线上点D（不与C重合）的纵坐标为m的最大值，在x轴上找一点E，使点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、c的方程组，从而可求得a、c的值；
（2）先求得点C的坐标，然后依据待定系数法求得直线BC的解析式，由直线可抛物线的解析式可知P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4），从而可求得QP与t的关系式，最后依据配方法可求得m的最大值；
（3）将y=4代入抛物线的解析式求得点D的坐标，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得到BE=CD=3时，B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，从而可求得点E的坐标．

解答 解（1）∵抛物线y=ax²+3x+c经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3+c=0}\\{16a+12+c=0}\end{array}\right.$．
解得：a=-1，c=4．
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．
（2）∵将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，
∴C（0，4）．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将B（4，0），C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=4
∴直线BC的解析式为：y=-x+4．
过点P作x的垂线PQ，如图所示：

∵点P的横坐标为t，
∴P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4）．
∴PQ=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t．
∴m=-t²+4t=-（t-2）²+4（0＜t＜4）．
∴当t=2时，m的最大值为4．
（3）将y=4代入抛物线的解析式得：-x²+3x+4=4．
解得：x₁=0，x₂=3．
∵点D与点C不重合，
∴点D的坐标为（3，4）．
又∵C（0，4）
∴CD∥x轴，CD=3．
∴当BE=CD=3时，B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
∴点E（1，0）或（7，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值、平行线四边形的判定，由抛物线和直线BC的解析式得到点P和Q的坐标，从而得到PQ与t的函数关系式是解题的关键．