【题目】对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P,给出如下定义:
若点P满足PA=PB,则称P为线段AB的“轴点”,其中,当0°<∠APB<60°时,称P为线段AB的“远轴点”;当60°≤∠APB≤180°时,称P为线段AB的“近轴点”.
(1)如图1,点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),则在,,, 中,线段AB的“近轴点”是 .
(2)如图2,点A的坐标为(3,0),点B在y轴正半轴上,且∠OAB=30°.
①若P为线段AB的“远轴点”,直接写出点P的横坐标t的取值范围 ;
②点C为y轴上的动点(不与点B重合且BC≠AB),若Q为线段AB的“轴点”,当线段QB与QC的和最小时,求点Q的坐标.
【答案】(1)P2 , P3;(2)t<0或t>3;(3)当点Q的坐标为(1,0)时,线段QB与QC的和最小.
【解析】
(1)利用近轴点的意义即可得出结论;(2)①根据远轴点的定义通过图像判断即可;②根据题意,点Q在线段AB的垂直平分线l上,将情况分为点B,C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论:当B,C在l的同侧时,易知当点C与点O重合,Q为AO与直线l的交点时,QB+QC最小,根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系,再根据OA=QC+AQ=QC+BQ=3列方程求出Q点坐标即可;当B,C在l的异侧时,显然QB+QC>3,即可得到答案.
(1)P2 , P3.
(2)①t<0或t>3.
②根据题意,点Q在线段AB的垂直平分线l上.
当点B,C在直线l的同侧时,
对于满足题意的点C的每一个位置,都有QB+QC=QA+QC.
∵QA+QC≥AC,AC≥AO
∴当点C与点O重合,Q为AO 与直线l交点时,QB+QC最小.
∵∠OAB=30°,AQ=BQ,
∴∠QBA=∠QBO=30°.
∴OQ=BQ.
在Rt△BOQ中,设OQ=x,则AQ=BQ=2x.
∴3x=3.
解得 x=1.
∴Q(1,0).
当点B,C在直线l的异侧时,QB+QC>3.
综上所述,当点Q的坐标为(1,0)时,线段QB与QC的和最小.
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【题目】如图,钝角三角形△ABC的面积是15,最长边AB=10,BD平分∠ABC,点M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值为_____
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【题目】设m是不小于﹣1的实数,使得关于x的方程x2+2(m﹣2)x+m2﹣3m+3=0有两个实数根x1 , x2 .
(1)若x12+x22=2,求m的值;
(2)代数式 + 有无最大值?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.
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【题目】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)图1中阴影部分面积为______,图2中阴影部分面积为_____,对照两个图形的面积可以验证________公式(填公式名称)请写出这个乘法公式________.
(2)应用(1)中的公式,完成下列各题:
①已知x2﹣4y2=15,x+2y=3,求x﹣2y的值;
②计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1.
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【题目】如图,把△ABC向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到△A′B′C′,点A(-1,2),B(-3,1),C(0,-1)的对应点分别是A′,B′,C′.
(1)在图中画出△A′B′C′;
(2)分别写出点A′,B′,C′的坐标;
(3)求△A′B′C′的面积.
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【题目】张师傅准备用长为8cm的铜丝剪成两段,以围成两个正方形的线圈,设剪成的两段铜丝中的一段的长为xcm,围成的两个正方形的面积之和为Scm2 .
(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)当x取何值时,S取得最小值,并求出这个最小值.
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【题目】如图(1),在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+4交坐标轴于A、B两点,过点C(﹣4,0)作CD⊥AB于D,交y轴于点E.
(1)求证:△COE≌△BOA;
(2)如图2,点M是线段CE上一动点(不与点C、E重合),ON⊥OM交AB于点N,连接MN.
①判断△OMN的形状.并证明;
②当△OCM和△OAN面积相等时,求点N的坐标.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1 , O2 , O3 , … 组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 个单位长度,则第2016秒时,点P的坐标是
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