Question

11．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=-x²+4x-3可知，a₁=-1，b₁=4，c₁=-3，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）直接写出函数y=-x²+4x-3的“旋转函数”；
（2）若函数y=-x²+$\frac{3}{5}$mx-3与y=x²-3nx+n互为“旋转函数”，求$（\frac{4}{15}m+n{）^{2015}}$的值；
（3）设点A（m，n）在抛物线上L：y=ax²+bx+c的图象上，证明：点A关于原点的对称点在抛物线L的“旋转函数”上．
（4）已知函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

Answer 1

分析 （1）根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂=-1，b₂=-3，c₂=-2，从而求出函数y=x²-3x-2的“旋转函数”；
（2）根据旋转函数的定义得到：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}m=-3n}\\{-3+n=0}\end{array}\right.$，从而解得m=-15，n=3，进而求出$（\frac{4}{15}m+n{）^{2015}}$的值；
（3）根据题意写出抛物线L的“旋转函数”解析式，然后把点（-m，-n）代入进行验证即可；
（4）根据题意得A（-1，0），B（4，0），C（0，2），得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），从而求出两个函数解析式，进而得到两个函数互为“旋转函数”．

解答 解：（1）在y=-x²+4x-3中，a₁=-1，b₁=4，c₁=-3，
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=4，c₂=3，
可得函数y=-x²+4x-3的“旋转函数”为y=x²+4x+3；

（2）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}m=-3n}\\{-3+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-15}\\{n=3}\end{array}\right.$．
$（\frac{4}{15}m+n{）^{2015}}$=[$\frac{4}{15}$×（-15）+3]²⁰¹⁵=-1；

（3）证明：点A关于原点对称的点为A′，则点A（m，n）关于原点对称的点的坐标为A′（-m，-n）．
抛物线Ly=ax²+bx+c的“旋转函数”解析式为y=-ax²+bx-c．
把点A′（-m，-n）代入得到：-n=-a（-m）²-mb-c=-am²-mb-c，则n=am²+bm+c，即点（m，n）在抛物线y=ax²+bx+c上，
所以点A关于原点的对称点在抛物线L的“旋转函数”上．

（4）题意得A（-1，0），B（4，0），C（0，2），得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），
又∵y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，经过点A₁，B₁，C₁的二次函数为y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴两个函数互为“旋转函数”．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．