Question

已知：如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，连接AB交OC于点D，AC=CD．
（1）求证：OC⊥OB；
（2）如果OD=1，tan∠OCA=，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：
∵OA=OB，
∴∠B=∠4．
∵CD=AC，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1．
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠3+∠B=90°，
∴∠BOD=90°，
∴OC⊥OB，

解：（2）在Rt△OAC中，∠OAC=90°，
∵tan∠OCA=，
∴，
∴设AC=2x，则AO=x，
由勾股定理得，OC=3x．
∵AC=CD，
∴AC=CD=2x．
∵OD=1，
∴OC=2x+1．
∴2x+1=3x，
∴x=1，
∴AC=2×1=2．
分析：（1）根据OB=OA求出∠B=∠4，根据AC=CD得出∠1=∠2=∠3，根据切线性质求出∠1+∠4=90°=∠B+∠3，QIUC∠BOD度数即可；
（2）根据锐角三角函数得出OA：AC=2：，设AC=2x，则AO=x，由勾股定理求出OC=3x，得出3x=2x+1，求出x即可．
点评：本题考查了勾股定理，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．