Question

8．如图，等边△ABC 中，高线 AD=6，点P从点 A出发，沿着AD运动到点 D停止，以CP为边向左下方作等边△CPQ，连接BQ，DQ．

（1）请说明：△ACP≌△BCQ；
（2）在点P的运动过程中，当△BDQ是等腰三角形时，求∠BDQ的度数．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠ACP=∠BCP，即可根据SAS证明；
（2）分三种情形①BQ=QD．②BQ=BD．③BD=DQ即可解决问题；

解答 （1）证明：∵△ABC和△PQC是等边三角形，
∴AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，
又∵∠ACP=60°-∠BCP，∠BCQ=60°-∠BCP，
∴∠ACP=∠BCP，
在△ACP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCQ}\\{PC=QC}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCQ（SAS）．

（2）解：由（1）知，△ACP≌△BCQ，∴∠QBD=∠PAC=30°，
当△BDQ 是等腰三角形时，
①若BQ=QD，如图1，则∠BDQ=30°；  

②若BQ=BD，如图2，则∠BDQ=75°； 
③若BD=DQ，如图3，则∠BDQ=120°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．