Question

3．如图1，已知抛物线y=ax²-2ax-3与x轴交于A、B两点，过点A的直线交抛物线于另一点C（2，-3），且tan∠BAC=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是线段AC上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）点Q是抛物线上且位于x轴下方的一动点，在x轴上是否存在点F，使以A，C，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正切值，可得AC一次项的系数是-1，根据待定系数法，可得AC的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据平行四边形的判定，可得AF与CQ的关系，根据数轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案．

解答 解：（1）由tan∠BAC=1，得AC的解析式为y=-x+b，
将C点坐标代入AC的解析式，得
-2+b=-3，解得b=-1．
故AC的解析式为y=-x-1，
当y=0时，-x-1=0，解得x=-1，即A（-1，0）．
将A点坐标代入抛物线的解析式，得
a+2a-3=0，解得a=1．
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）由P是线段AC上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，
设P（a，-a-1），E（a，a²-2a-3），
PE=-a-1-（a²-2a-3）
=-a²+a+2
=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当a=$\frac{1}{2}$时；PQ_最大=$\frac{9}{4}$；
（3）如图：

由AFCQ是平行四边形，得
AF∥CQ，AF=CQ．
C（2-，-3）得Q的纵坐标时-3，即x²-2x-3=-3，
解得x=0或x=2，即Q（0，-3），CQ=2．
AF=CQ=2，
-1+2=1，或-1-2=-3，
即F₂（-3，0）或F₁（1，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数的解析式，利用了二次函数的性质，平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，注意数轴上到一点距离相等的点有两个，以防遗漏．