【题目】如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．
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【题目】数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第
格放粒米，第
格放粒米，第
格放
粒米，然后是
粒、
粒、
粒······一只到第
格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求
是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设
,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要
粒米.那么
到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个
位数:
，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座
层塔共挂了
盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
计算: 
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：
，其中第一项是
，接下来的两项是
，再接下来的三项是
，以此类推，求满足如下条件的所有正整数
，且这一数列前
项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为_____．
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【题目】已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点，
(1)如图，连接AC、OD，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD；
(2)如图，当点B为
的中点时，求点A、D之间的距离：
(3)如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆相切，求弦AE的长．
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【题目】如图，菱形ABCD的边长为
，对角线AC、BD交于O，且DE∥AC，AE∥BD.
（1）判断四边形AODE的形状并给予证明；
（2）若四边形AODE的周长为14，求四边形AODE的面积.
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【题目】已知二次函数
的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；
（3）是否存在实数
、
（
），当
时，y的取值范围为
？若存在，直接写在、的值；若不存在，说明理由．
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【题目】如图，已知矩形OABC的顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴上，且AB＝4．P为OC上一点，将△BCP沿PB折叠，点C落在第三象限内点Q处，BQ与x轴的交点M恰好为OA的中点，且MQ＝1．
（1）求点A的坐标；
（2）求折痕PB所对应的函数表达式．
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