Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，连结AC，分别交DE，DF于点M，N．

（1）求证：△ADF≌△CDE；

（2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2；

①若∠ADF＝∠EDF，求S2：S1的值．

②若S2＝2S1，求tan∠ADF.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①S2：S1的值为；②tan∠ADF＝﹣1．

【解析】

（1）根据HL证明三角形全等即可；

（2）①如图，作NH⊥AB于H．设FH=a．利用参数表示S2，S1即可；

②如图，作NH⊥AB于H．易证∠ADF=∠HNF，设tan∠ADF=tan∠FNH=k，设NH=AH=b，则FH=kb，利用面积关系构建方程求出k即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAF＝∠DCE＝∠ADC＝90°，

∵DF＝DE，

∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL）．

（2）①如图，作NH⊥AB于H．设FH＝a．

∵Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），

∵∠ADF＝∠CDE，

∵∠ADF＝∠DEF，

∴∠ADF＝∠EDF＝∠CDE＝30°，

∴∠AFD＝60°，

∵∠NHF＝90°，

∴∠FNH＝30°，

∴HN＝a，

∵∠NAH＝45°，∠AHN＝90°，

∴∠NAH＝∠ANH＝45°，

∴HA＝HN＝a，

∴AF＝（1+）a，AD＝AF＝（3+）a，

∴S2＝AFNH＝（1+）aa＝a2，

∵∠ADN＝∠CDM，AD＝DC，∠DAN＝∠DCM＝45°，

∴△ADN≌△CDM（ASA），

∴S△ADN＝S△DCM，

∴S1＝S△ADC﹣2S△ADN＝[（3+）a]2﹣2×（3+）aa＝（9+6）a2，

∴.

（3）如图，作NH⊥AB于H．

∵∠FHN＝∠FAD＝90°，

∴HN∥AD，

∴∠ADF＝∠HNF，

设tan∠ADF＝tan∠FNH＝k，设NH＝AH＝b，则FH＝kb，

∴AF＝b+kb，

∴AD＝，

∴S2＝ [（1+k）b]2，S1＝S△ADC﹣2S△ADN＝﹣2×，

∵S2＝2S1，

∴（1+k）b]2＝2[﹣2×]

整理得：k2+2k﹣2＝0，

解得：k＝﹣1或﹣1（舍弃），

∴tan∠ADF＝k＝﹣1．