Question

5．如图，已知矩形纸片BDEF和直角三角板BCA，点A在EF上，AC=DE=$\sqrt{3}$，FE=3$\sqrt{5}$，∠C=90°，∠CBA=30°．
（1）写出三种不同类型的结论．
（2）将直角三角板BCA绕点B旋转，在旋转过程中，
 ①求点A与点E的最短距离．
 ②若将直角三角板绕点B从①中位置开始顺时针旋转α度（0≤α＜360），使∠BAE=90°，求α的度数．

Answer 1

分析 （1）在RT△ABC中，由∠C=90°，∠ABC=30°，AC=$\sqrt{3}$可以求出∠BAC，AB，BC，通过AB=2BF得∠FAB=30°进而交于得到AG=BG．
（2）①如右图当A、B、E共线时，AE最小，求出BE即可．
②两种情形画出图形，求出∠EBA′和∠EBA″即可．

解答 解：（1）在RT△ABC中，∵∠C=90°，AC=$\sqrt{3}$，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°
∵四边形BDEF是矩形，
∴$BF=ED=AC=\sqrt{3}$，∠F=90°
∴AB=2BF，∠FAB=30°，
∴∠GBA=∠GAB，
∴GB=GA．
三个不同类型结论为：AB=2$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，BG=GA．
（2）①如右图当A、B、E共线时，AE最小，连接BE，
∵四边形BDEF是矩形，
∴∠D=90°，BD=EF=3$\sqrt{5}$，BF=DE=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴AE的最小值=BE-AB=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
②在图1中，∵∠BA′E=90°，
∴cos∠EBA′=$\frac{A′B}{BE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EBA′=60°同理在图2中，∠A″BE=60°，
∴旋转角α=60°或300°．

点评 本题考查直角三角形中30°的性质、勾股定理、三角函数的定义、旋转的性质等知识，利用三角函数值求角是解决最后一问的关键．