Question

在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE，已知AE=5，

AD

DE

=

3

4

，则BE+CE=

 

．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：分类讨论

分析：本题有两种情形，需要分类讨论，首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．

解答：解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE=BE，ED⊥AB，AD=

1

2

AB，
∵AE=5，

AD

DE

=

3

4

，
∴sin∠AED=

3

5

，
∴AD=AE•sin∠AED=3，
∴AB=6，
∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；
②若∠BAC为钝角，如答图2所示：
同理可求得：BE+CE=16．
故答案为：6或16．

点评：本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．