Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆，设点Q运动的时间为ts．
（1）求点P到AB的距离；
（2）当t=1.2s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（3）已知⊙O为△ABC的外接圆，问是否存在t的值，使⊙P与⊙O相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作PD⊥AB，交AB于点D，根据已知利用勾股定理求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离即可，
（2）求出PQ的值，可得圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；
（3）根据BO=

1

2

AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．

解答：解：（1）如图1，作PD⊥AB，交AB于点D，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10cm，
∵P为BC的中点，
∴PB=

1

2

BC=4cm，
∵△ABC∽△PBD，
∴

PD

AC

=

PB

AB

，即

PD

6

=

4

10

，解得PD=2.4cm，
∴点P到AB的距离为2.4cm，
（2）当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），
∵由（1）可得PD=2.4cm，
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，
∴直线AB与⊙P相切；
（3）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO=

1

2

AB=5cm，
连接OP，
∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，
∴PO=

1

2

AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切，
∴当⊙P在⊙O内部时：5-2t=3，
当⊙O在⊙P内部时2t-5=3，
∴t=1或4，
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，利用图形分类讨论得出是解题的关键．