Question

【题目】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．

（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子表示∠APB的度数．

（3）如图3，C是函数 图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）∠APB=180°﹣α；（3）点P的坐标为：（，），或（，）．

【解析】

（1）只要证明△AOP∽△POB，可得=，即可证明；

（2）由∠APB是∠MON的智慧角，可得=，即可推出△AOP∽△POB，推出∠OAP=∠OPB，推出∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-α；

（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；发三种情形情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图3所示：②当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：③当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示，分别求解即可.

（1）如图2中，

∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=135°，

∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°，

∴∠OAP=∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2=OAOB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）如图1中，

∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OAOB=OP2，

∴，

∵P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP=∠BOP=α，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α，

即∠APB=180°﹣α；

（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图3所示：

BC=2CA不可能；

②当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：

∵BC=2CA，

∴，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴，

∴OB=3b，OA=a，

∴OAOB=a3b==，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（，）；

③当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示，

∵BC=2CA，

∴AB=CA，

在△ACH和△ABO中，

，

∴△ACH≌△ABO（AAS），

∴OB=CH=b，OA=AH=a，

∴OAOB= ab=，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP===，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（，）；

span>综上所述：点P的坐标为：（，），或（，）．