Question

【题目】如图，已知一次函数y＝﹣x与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象相交于原点O和另一点A（4，﹣4）．

（1）求二次函数表达式；

（2）直线x＝m和x＝m+2分别交线段AO于C、D，交二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象于点E、F，当m为何值时，四边形CEFD是平行四边形；

（3）在第（2）题的条件下，设CE与x轴的交点为M，将△COM绕点O逆时针旋转得到△C′OM′，当C′、M′、F三点第一次共线时，请画出图形并直接写出点C′的纵坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x；（2）当m为1时，四边形CEFD是平行四边形；（3）图详见解析，C′（，）．

【解析】

（1）把（0，0），A（4，﹣4）代入y＝-x2+bx+c，即可求解；

（2）设C（m，﹣m），D（m+2，﹣m﹣2），表示出E，F坐标，根据CE∥DF，可得当CE＝DF时，四边形CEFD为平行四边形，即﹣m2+3m+m＝﹣m2﹣m+2+m+2，即可求解；

（3）作C′H⊥x轴于H，可证△FHC′∽△FM′O，则，即，即可求解．

解：（1）把（0，0），A（4，-4）代入y＝﹣x2+bx+c得，

解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x；

（2）设C（m，﹣m），D（m+2，﹣m﹣2），

则E（m，﹣m2+3m），F[m+2，﹣（m+2）2+3（m+2）]，即F（m+2，﹣m2﹣m+2），

∵CE∥DF，

∴当CE＝DF时，四边形CEFD为平行四边形，

即﹣m2+3m+m＝﹣m2﹣m+2+m+2，

解得m＝1，

即当m为1时，四边形CEFD是平行四边形；

（3）画图如下，作C′H⊥x轴于H，

当m＝1时，C（1，-1），D（3，-3），F（3，0），即F点为抛物线与x轴的一个交点，

∴OM＝CM＝1，OC＝，

∵△COM绕点O逆时针旋转得到△C′OM′，

∴OM′＝C′M′＝1，∠OM′C′＝∠OMC＝90°，

在Rt△OM′F中，FM′＝ ＝2，

∴FC′＝2﹣1，

∵∠C′FH＝OFM′，

∴△FHC′∽△FM′O，

∴，即，

∴FH＝，C′H＝，

∴OH＝OF﹣FH＝，

∴C′（，）．