Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）当∠BAC＝60°，AB＝8时，求EG的长；

（3）当AB＝5，BC＝6时，求tanF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）tanF＝．

【解析】

（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠C，证出OD∥AC，再由已知得出EF⊥OD，即可证出EF是⊙O的切线；

（2）连接BG、AD，由圆周角定理得出∠AGB=∠ADB=90°，即BG⊥AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性质得出BD=CD，证出△ABC是等边三角形，得出AC=AC=8，证出EF∥BG，由平行线得出CE：EG=CD：BD，证出CE=EG，由等腰三角形的性质得出，即可得出EG的长；

（3）由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，由三角函数求出，得出，再由勾股定理求出，由平行线得出△ODF∽△AEF，得出对应边成比例求出，在Rt△ODF中，由三角函数定义即可得出答案．

解（1）证明：如图1，连接OD，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠OBD，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OD，

∴EF是⊙O的切线；

（2）如图2，连接BG、AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AGB＝∠ADB＝90°，

即BG⊥AC，AD⊥BC，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴BD＝CD，△ABC是等边三角形，

∴AC＝AC＝8，

∵EF⊥AC，

∴EF∥BG，

∴CE：EG＝CD：BD，

∴CE＝EG，

∵BG⊥AC，

∴CG＝AG＝AC＝4，

∴EG＝CG＝2；

（3）解：∵AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝3，

∴AD＝＝＝4，sinC＝＝＝，

∴DE＝CD＝×3＝，

∴AE＝＝＝，

∵OD∥AC，

∴△ODF∽△AEF，

∴，即，

解得：DF＝，

在Rt△ODF中，OD＝AB＝，

∴tanF＝＝＝．