Question

8．如图，ABCD为正方形，E是BC边上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN．如果tan∠AEN=$\frac{1}{3}$，DC+CE=10，那么△ANE的面积为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由翻折变换的性质得出∠AEN=∠EAN，然后先由tan∠AEN=$\frac{1}{3}$，可得出BE=$\frac{1}{3}$AB，然后DC+CE=10可知BE=2，从而得到AB=6，然后再Rt△ABE中，由勾股定理可求得BN的长，最后依据三角形的面积公式求解即可．

解答 解：由翻折的性质可知：∠AEN=∠EAN．
∵tan∠AEN=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠BAE=$\frac{1}{3}$．
∴AB=3BE．
∵EC+CD=10，
∴6BE-BE=10．
解得：BE=2．
∴AB=6．
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}×2×6$=6．
设AN=EN=x，则BN=6-x．
在Rt△NBE中，由勾股定理可知：BE²+BN²=NE²，即（6-x）²=x²+2²．
解得：x=$\frac{8}{3}$．
∴BN=$\frac{8}{3}$．
∴${S}_{△BNE}=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}$=$\frac{8}{3}$．
∴S_△ANE=S_△ABE-S_△BNE=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．