Question

4．将全体正整数有规律地排成如图的“数阵”，观察处在“从左上角到右下角的对角线”上的数，依次是1，3，7，13，21，那么第n个数应是n²-n+1．．

1	2	9	10	25	…
4	3	8	11	24	…
5	6	7	12	23	…
16	15	14	13	22	…
17	18	19	20	21	…
…	…	…	…	…	…

Answer 1

分析 首先根据“数阵”图，设“从左上角到右下角的对角线”上的数，依次是a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，…，a_n，然后分别求出相邻两个数的差是多少，再把等式的左右两边分别相加，根据等差数列的求和公式，即可求出第n个数应是多少．

解答 解：设“从左上角到右下角的对角线”上的数，依次是a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，…，a_n，
则a₁=1，
a₂-a₁=2，
a₃-a₂=4，
a₄-a₃=6，
…，
a_n-a_n-1=2（n-1），
把等式的左右两边分别相加，可得
a_n=1+2+4+6+…+2（n-1）
=1+2×（1+2+3+…+n-1）
=1+2×（1+n-1）×（n-1）÷2
=1+n（n-1）
=n²-n+1．
故答案为：n²-n+1．

点评 此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：“从左上角到右下角的对角线”上的数中，相邻两个数的差分别是2、4、6、8、…．