Question

【题目】综合与探究

如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是y轴负半轴上一点，直线BD与抛物线y=ax2+bx+3在第三象限交于点E（﹣4，y）点F是抛物线y=ax2+bx+3上的一点，且点F在直线BE上方，将点F沿平行于x轴的直线向右平移m个单位长度后恰好落在直线BE上的点G处．

（1）求抛物线y=ax2+bx+3的表达式，并求点E的坐标；

（2）设点F的横坐标为x（﹣4＜x＜4），解决下列问题：

①当点G与点D重合时，求平移距离m的值；

②用含x的式子表示平移距离m，并求m的最大值；

（3）如图2，过点F作x轴的垂线FP，交直线BE于点P，垂足为F，连接FD．是否存在点F，使△FDP与△FDG的面积比为1：2？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣4，﹣6）；（2）①-1；②8；（3）见解析．

【解析】

（1）先将A（﹣2，0），B（4，0），代入y=ax2+bx+3求出a，b的值即可求出抛物线的表达式，再将E点坐标代入表达式求出y的值即可；

（2）①设直线BD的表达式为y=kx+b，将B（4，0），E（﹣4，﹣6）代入求出k，b的值，再将x=0代入表达式求出D点坐标，当点G与点D重合时，可得G点坐标，GF∥x轴，故可得F的纵坐标， 再将y=﹣3代入抛物线的解析式求解可得点F的坐标，再根据m=FG即可得m的值；

②设点F与点G的坐标，根据m=FG列出方程化简可得出m的二次函数关系式，再根据二次函数的图象可得m的取值范围；

（3）分别分析当点F在x轴的左侧时与右侧时的两种情况，根据△FDP与△FDG的面积比为1：2，故PD：DG=1：2．已知FP∥HD，则FH：HG=1：2．再分别设出F,G点的坐标，再根据两点关系列出等式化简求解即可得F的坐标.

解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0），代入y=ax2+bx+3得：，解得：，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+3，

把E（﹣4，y）代入得：y=﹣6，

∴点E的坐标为（﹣4，﹣6）．

（2）①设直线BD的表达式为y=kx+b，将B（4，0），E（﹣4，﹣6）代入得：，

解得：，

∴直线BD的表达式为y=x﹣3．

把x=0代入y=x﹣3得：y=﹣3，

∴D（0，﹣3）．

当点G与点D重合时，G的坐标为（0，﹣3）．

∵GF∥x轴，

∴F的纵坐标为﹣3．

将y=﹣3代入抛物线的解析式得：﹣x2+x+3=﹣3，

解得：x=+1或x=﹣+1．

∵﹣4＜x＜4，

∴点F的坐标为（﹣+1，﹣3）．

∴m=FG=﹣1．

②设点F的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点G的坐标为（x+m，（x+m）﹣3），

∴﹣x2+x+3=（x+m）﹣3，化简得，m=﹣x2+8，

∵﹣＜0，

∴m有最大值，

当x=0时，m的最大值为8．

（3）当点F在x轴的左侧时，如下图所示：

∵△FDP与△FDG的面积比为1：2，

∴PD：DG=1：2．

∵FP∥HD，

∴FH：HG=1：2．

设F的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点G的坐标为（﹣2x，﹣x﹣3），

∴﹣x2+x+3=﹣x﹣3，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=﹣2或x=8（舍去），

∴点F的坐标为（﹣2，0）．

当点F在x轴的右侧时，如下图所示：

∵△FDP与△FDG的面积比为1：2，

∴PD：DG=1：1．

∵FP∥HD，

∴FH：HG=1：1．

设F的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点G的坐标为（2x， x﹣3），

∴﹣x2+x+3=x﹣3，整理得：x2+2x﹣16=0，

解得：x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），

∴点F的坐标为（﹣1，）．

综上所述，点F的坐标为（﹣2，0）或（﹣1，）．