Question

【题目】如图，△ABC与△ABD都是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，BE＝CF，AE与BF交于点G．

（1）求∠AGF的度数；

（2）连接DG，若AG＝3、BG＝2，求DG的长．

Answer 1

【答案】（1）∠AGF＝60°；（2）DG＝5．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，再根据三角形全等的判定方法可证得△ABE≌△BCF，则∠BAE＝∠FBC，利用三角形外角性质得∠BGE＝∠ABG+∠BAE，则∠BGE＝∠ABG+∠FBC＝∠ABC＝60°，然后根据对顶角相等即可得到结论；

（2）延长GE至点H，使GH＝GB，由于∠BGE＝60°，根据等边三角形的判定得到△BGH为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°，且AB＝BD，∠ABD＝60°，易得∠ABH＝∠DBG，根据三角形全等的判定方法可证得△DBG≌△ABH（SAS），则DG＝AH，即可得到DG＝AG+BG．

（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，

∵在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠FBC，

∵∠BGE＝∠ABG+∠BAE＝∠ABG+∠FBC＝∠ABC＝60°，

∴∠AGF＝∠BGE＝60°；

（2）证明：延长GE至点H，使GH＝GB，如图，

∵∠BGE＝60°，

∴△BGH为等边三角形，

∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°，

∵△ABD是等边三角形，

∴AB＝BD，∠ABD＝60°，

∵∠ABH＝∠GBH+∠ABG，∠DBG＝∠ABD+∠ABG，

∴∠ABH＝∠DBG，

∵在△DBG和△ABH中，

，

∴△DBG≌△ABH（SAS），

∴DG＝AH，

而AH＝AG+GH，

∴DG＝AG+BG，

∵AG＝3，BG＝2，

∴DG＝5．