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【题目】如图,以ABC的边ABAC为边向外作等边三角形ABDACE,线段BEDC于点F,下列结论:①CDBE;②FA平分∠BAC;③∠BFC120°,④FA+FBFD,其中正确有(  )个.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

证明△ADC≌△ABE,根据全等三角形的性质可推出①③正确,在DF上取一点K,使得FK=FA,可得AKF是等边三角形,再证明DAK≌△BAF,可推出④正确,证明AF平分∠DFE,根据三角形外角的性质可推出②不一定成立,故②错误.

解:如图设ACBE于点O


∵△ABDACE都是等边三角形,
AD=ABAE=AC,∠DAB=EAC=60°

∴∠DAC=EAB
∴△ADC≌△ABESAS),
CD=BE,∠AEB=ACD,∠ABE=ADC,故①正确
AMCDMANBEN
∵△ADC≌△ABE
AM=AN
AF平分∠DFE,∠DFA=EFA

ABFAFC中,

BAF=EFA-ABF,∠CAF=DFA-ACD

∵∠ACD和∠ABF不一定相等,

∴无法判断∠BAF和∠CAF相等,即无法判断AF平分∠BAC,故②错误,
∵∠AOE=COF
∴∠OAE=OFC=60°
∴∠BFC=120°,故③正确,
DF上取一点K,使得FK=FA
∵∠AFK=AFN=60°
∴△AKF是等边三角形,

AF=AK, DAB=KAF =60°

∴∠DAK=BAF

又∵AB=AD
DAK≌△BAF(SAS)
DK=BF
DF=DK+KF=FA+FB,故④正确,
故①③④正确选:B

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