Question

已知四边形ABCD是边长为2的正方形，在以AB为直径的正方形内作半圆O，P为半圆上的动点（不与A、B重合）连接PA、PB、PC、PD，
（1）若DP与半圆O相切时，求PA的长．
（2）如图，以BC边为x轴，以AB边为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S₁、S₂、S₃，试求2S₁S₃-S₂²的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，E为边AD上一点，且AE=3DE，连接BE交半圆O于F．连接FP并延长至点Q，使得PQ=PB，求OQ的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据已知可得OD垂直平分AP，得到△AMO∽△DAO，根据勾股定理从而得到AM，即可得到AP的值；
（2）过点P分别作PE⊥AB，设P点坐标为（x，y），通过勾股定理得到x²=2y-y²，从而得到2S₁S₃-S₂²关于x的解析式，求得其最值即可得到P的坐标；
（3）连接AF，作FK⊥AB交于点K，易得△BAE∽△BFA∽△AFE，根据相似三角形的性质得到BF，从而根据勾股定理以及△BFK∽△BEA，得到BE、FK及BK，即可得出F点坐标，接着得到直线PF解析式，设Q（a，-7a+8），利用PQ=PB=

2

得到Q点坐标，即可得到OQ的长度．

解答：解：（1）如图1，连接OP、OD，AP与OD相交于点M，
∵DP与半圆O相切，
∴OA=OP，OP⊥DP，得OD垂直平分AP，
∴△AMO∽△DAO，
∴

AM

AD

=

AO

DO

，
∵AD=2，AO=1，
DO=

AD2+AO2

=

22+12

=

5

，
∴AM=

AO×AD

DO

=

1×2

5

=

2 5

5

，
∴AP=2AM=2×

2 5

5

=

4 5

5

；

（2）作PE⊥AB于点E，设P（x，y），
在Rt△EPO中，可得PE²+EO²=OP²，
即x²+（y-1）²=1²，
∴x²=2y-y²，
根据题意可得：S₁=

1

2

•AD•（2-y）=2-y，
S₃=

1

2

•BC•y=y，
S₂=

1

2

•AB•x=x，
∴2S₁S₃-S₂²=2•（2-y）•y-x²
=4y-2y²-x²
=x²
∵0＜x≤1
∴当x=1时，2S₁S₃-S₂²有最大值，最大值为1，
将x=1代入x²=2y-y²中，
可得y=1，
此时点P（1，1）

（3）连接AF，得AF⊥BE，作FK⊥AB交于点K，
∵AE=3DE，AD=2，
∴AE=

3

2

，AF=

6

5

，
根据题意，易得△BAE∽△BFA∽△AFE，
即：

AF

BF

=

EF

AF

=

AE

AB

，
得BF=

AF•AB

AE

=

6 5 •2

3 2

=

8

5

，
在△ABE中，BE=

AB2+AE2

=

5

2

，
易得△BFK∽△BEA，
即：

FK

BF

=

AE

BE

，
得FK=

AE

BE

•BF=

3 2 • 8 5

5 2

=

24

25

，
根据勾股定理可得，BK=

BF2-FK2

=

32

25

∴F（

24

25

，

32

25

），
∵P（1，1），
可求得直线PF解析式：y=-7x+8，
设Q（a，-7a+8），
∵PQ=PB=

2

，
∴

(a-1)2+(-7a+8-1)2

=

2

，
∴a₁=

4

5

，a₂=

6

5

，
∵Q在FP的延长上，
∴a＞1，
∴a=

6

5

，
∴Q点坐标为（

6

5

，-

2

5

），
∵O点坐标为（0，1），
∴QO=

( 6 5 -0)2+(- 2 5 -1)2

=

85

5

．

点评：本题考查了圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、勾股定理、二元一次方程的最值问题、两点间的距离等多个考点，此题综合性很强，解题的关键是在于数形结合与方程思想的变换，特别是第（3）问中计算量较大，需要仔细认真．