Question

1．若某同学在一次综合性测试中，语文、数学、英语、科学、社会5门学科的名次在其所在班级里都不超过3（记第一名为1，第二名为2，第三名为3，以此类推且没有并列名次情况），则称该同学为超级学霸．现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对一次综合性测试名次数据的描述，一定可以推断是超级学霸的是（　　）

• A． 甲同学：平均数为2，中位数为2
• B． 乙同学：中位数是2，唯一的众数为2
• C． 丙同学：平均数是2，标准差为2
• D． 丁同学：平均数为2，唯一的众数为2

Answer 1

分析 根据平均数、中位数、众数、标准差的意义，分别分析各选项，举出反例利用排除法即可求解．

解答 解：A、由于中位数为2，那么5门学科的名次为1，1，2，x，y或者1，2，2，x，y（2≤x≤y），由平均数为2得出x+y=6或5，当x=2时，y=4（不合题意）或3，故本选项错误；
B、由于中位数为2，那么5门学科的名次为1，1，2，x，y，或者1，2，2，x，y，（2≤x≤y），由唯一的众数为2，那么第二种情况1，2，2，x，y，当x=4，y=5时不合题意，故本选项错误；
C、由标准差为2，得出方差为4，设5门学科的名次为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，那么$\frac{1}{5}$[（x₁-2）²+（x₂-2）²+…+（x₅-2）²]=4，整理得x₁²+x₂²+…+x₅²=40，那么这五个数可以是1，1，2，3，5，不合题意，故本选项错误；
D、由唯一的众数为2，那么5门学科的名次为2，2，x，y，z，由平均数为2，得出x+y+z=6，x，y，z可以是1，1，4或1，2，3，而1，1，4与唯一的众数为2不符，所以x，y，z是1，2，3，符合题意，故本选项正确．
故选D．

点评 本题考查了平均数、中位数、众数、标准差的意义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．本题有一定难度，透彻理解定义是解题的关键．