Question

12．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：
（1）在图1中，写出∠A、∠B、∠C、∠D之间关系为∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．
①若∠D=40°，∠B=36°，则∠P=38°；
②探究∠P与∠D、∠B之间有何数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出∠OCB-∠OAD，再根据角平分线的定义求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
（3）根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，然后根据角平分线的定义可得∠DAM-∠PCM=$\frac{1}{2}$（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得证．

解答 解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，
在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C，
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，
∴∠A+∠D=∠B+∠C，
故答案为；∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）∵∠D=40°，∠B=36°，
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，
∴∠OCB-∠OAD=4°，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM=$\frac{1}{2}$∠OAD，∠PCM=$\frac{1}{2}$∠OCB，
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=$\frac{1}{2}$（∠OAD-∠OCB）+∠D=$\frac{1}{2}$×（-4°）+40°=38°，
故答案为：38°；

（3）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠PCM-∠DAM=∠D-∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM=$\frac{1}{2}$∠OAD，∠PCM=$\frac{1}{2}$∠OCB，
∴$\frac{1}{2}$（∠D-∠B）=∠D-∠P，
整理得，2∠P=∠B+∠D．

点评 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．