Question

20．如图，∠A=∠B=90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：AD+BC=CD．

Answer 1

分析 过M作ME⊥CD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠A=∠DEM=90°，AD=DE，AM=ME，根据HL推出△MBC≌△MEC，根据全等得出BC=CE，即可得出答案．

解答 证明：如图：
过M作ME⊥CD于E，
∵∠B=∠A=90°，DM平分∠ADC，
∴AD=DE，AM=ME，
∵点M是AB的中点，
∴AM=MB，
∴MB=ME，
在△MBC和△MEC中
$\left\{\begin{array}{l}{MB=ME}\\{MC=MC}\end{array}\right.$，
∴△MBC≌△MEC（HL），
∴BC=CE，
∴CD=DE+EC=AD+BC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．