Question

9．己知：如图，在梯形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AD∥EF∥BC，CE平分∠BCD，AE：EB=1：2，AD=4，BC=10，求CD的长．

Answer 1

分析 连接AC交EF于M，由平行线分线段成比例定理得出$\frac{EM}{BC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{MF}{AD}=\frac{CF}{CD}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，求出EM=$\frac{10}{3}$，MF=$\frac{8}{3}$，得出EF=EM+MF=6，由平行线的性质和角平分线得出∠FEC=∠FCE，证出CF=EF=6，得出CD=$\frac{3}{2}$CF=9即可．

解答 解：连接AC交EF于M，如图所示：
∵AE：EB=1：2，AD∥EF∥BC，
∴$\frac{EM}{BC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{MF}{AD}=\frac{CF}{CD}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{EM}{10}=\frac{1}{3}$，$\frac{MF}{4}$=$\frac{2}{3}$，
解得：EM=$\frac{10}{3}$，MF=$\frac{8}{3}$，
∴EF=EM+MF=6，
∵EF∥BC，CE平分∠BCD，
∴∠FEC=∠BCE，∠FCE=∠BCE，
∴∠FEC=∠FCE，
∴CF=EF=6，
∴CD=$\frac{3}{2}$CF=$\frac{3}{2}$×6=9．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行线分线段成比例定理，证出CF=EF是解决问题的关键．